18. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей, накрест лежащие углы равны (свойство накрест лежащих углов).

Доказательство свойства накрест лежащих углов:

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Дано:

• Прямые a и b параллельны (\( a Ⅱ b \)).
• Прямая c — секущая, пересекающая прямые a и b.
• Углы ∠1 и ∠2 — накрест лежащие.

Доказать:

• \( \angle 1 = \angle 2 \)

Доказательство:

1. Рассмотрим три случая взаимного расположения прямых, секущей и углов.
2. Случай 1: Прямые a и b пересекаются. В этом случае они не параллельны, что противоречит условию.
3. Случай 2: Прямые a и b параллельны.
4. Пусть прямая c пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.
5. Обозначим углы, образованные при пересечении:
   • Пусть ∠1 — это угол между прямой c и прямой a.
   • Пусть ∠2 — это угол между прямой c и прямой b, расположенный накрест от ∠1.
6. Рассмотрим угол ∠3, который является вертикальным к углу ∠1. Следовательно, \( \angle 3 = \angle 1 \).
7. Угол ∠3 и угол ∠2 являются соответственными углами при пересечении параллельных прямых a и b секущей c.
8. По свойству соответственных углов, если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Следовательно, \( \angle 3 = \angle 2 \).
9. Так как \( \angle 1 = \angle 3 \) (как вертикальные) и \( \angle 3 = \angle 2 \) (как соответственные), то по свойству транзитивности \( \angle 1 = \angle 2 \).

Вывод: Накрест лежащие углы равны.