14. Коля играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 50000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – восемь очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Коля перейдет на следующий уровень?

Решение:

Количество очков, добавляемых каждую минуту, образует геометрическую прогрессию:

• 1-я минута: 2 очка
• 2-я минута: 4 очка
• 3-я минута: 8 очков
• ...
• n-я минута: $$2^n$$ очков

Общее количество очков после n минут — это сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом $$b_1=2$$ и знаменателем $$q=2$$. Формула суммы $$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$$.

Нам нужно найти такое $$n$$, при котором $$S_n \ge 50000$$.

\[ S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n - 1) \]

Подставим в условие:

\[ 2(2^n - 1) \ge 50000 \]

\[ 2^n - 1 \ge 25000 \]

\[ 2^n \ge 25001 \]

Теперь будем подбирать степени двойки:

• $$2^{10} = 1024$$
• $$2^{12} = 4096$$
• $$2^{14} = 16384$$
• $$2^{15} = 32768$$

При $$n=14$$, $$2^{14} = 16384$$, что меньше 25001.

При $$n=15$$, $$2^{15} = 32768$$, что больше 25001.

Следовательно, через 15 минут Коля наберет достаточно очков.

Ответ: 15 минут.