17. В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 15. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

DE — средняя линия треугольника ABC. Это означает, что D — середина стороны AC, а E — середина стороны BC.

Средняя линия параллельна основанию и равна его половине: $$DE – – – – – AB$$ и $$DE = \frac{1}{2} AB$$.

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам (угол C общий, $$\angle CDE = \angle CAB$$ как соответственные при параллельных DE и AB и секущей AC).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия треугольника CDE к треугольнику CAB равен отношению их соответствующих сторон:

\[ k = \frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \]

Пусть $$S_{CDE}$$ — площадь треугольника CDE, а $$S_{ABC}$$ — площадь треугольника ABC.

Тогда:

\[ \frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

Известно, что $$S_{CDE} = 15$$. Найдем $$S_{ABC}$$:

\[ S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} \]

\[ S_{ABC} = 4 \cdot 15 \]

\[ S_{ABC} = 60 \]

Ответ: 60.