14. С помощью теорем синусов решите треугольник ABC, если: а) ∠A = 60°, ∠B = 40°, c = 14; б) ∠A = 30°, ∠C = 75°, b = 4,5; в) ∠A = 80°, a = 16, b = 10; г) ∠B = 45°, ∠C = 70°, a = 24,6; д) ∠A = 60°, a = 10, b = 7; е) a = 6,3, b = 6,3, ∠C = 54°; ж) b = 32, c = 45, ∠A = 87°; з) a = 14, b = 18, c = 20; и) a = 6, b = 7,3, c = 4,8.

Используем теорему синусов: \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\), а также равенство \(A+B+C=180^\circ\).

1. а) \(C=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ\).
   \(a=\dfrac{14\sin60^\circ}{\sin80^\circ}\approx12,30\), \(b=\dfrac{14\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx9,10\).
   Ответ: \(A=60^\circ, B=40^\circ, C=80^\circ;\ a\approx12,30, b\approx9,10, c=14\).
2. б) \(B=75^\circ\).
   \(a=\dfrac{4,5\sin30^\circ}{\sin75^\circ}\approx2,33\), \(c=\dfrac{4,5\sin75^\circ}{\sin75^\circ}=4,5\).
   Ответ: \(A=30^\circ, B=75^\circ, C=75^\circ;\ a\approx2,33, c=4,5, b=4,5\).
3. в) \(\sin B=\dfrac{10\sin80^\circ}{16}\), поэтому \(B\approx38,0^\circ\), \(C\approx62,0^\circ\).
   \(c=\dfrac{16\sin62^\circ}{\sin80^\circ}\approx14,45\).
   Ответ: \(A=80^\circ, B\approx38,0^\circ, C\approx62,0^\circ;\ c\approx14,45\).
4. г) \(A=180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ\).
   \(b=\dfrac{24,6\sin45^\circ}{\sin65^\circ}\approx19,15\), \(c=\dfrac{24,6\sin70^\circ}{\sin65^\circ}\approx24,68\).
   Ответ: \(A=65^\circ, B=45^\circ, C=70^\circ;\ b\approx19,15, c\approx24,68\).
5. д) \(\sin B=\dfrac{7\sin60^\circ}{10}\), откуда \(B\approx37,3^\circ\), \(C\approx82,7^\circ\).
   \(c=\dfrac{10\sin82,7^\circ}{\sin60^\circ}\approx11,51\).
   Ответ: \(B\approx37,3^\circ, C\approx82,7^\circ;\ c\approx11,51\).
6. е) Так как \(a=b\), то \(A=B\).
   \(A=B=\dfrac{180^\circ-54^\circ}{2}=63^\circ\).
   \(c=\dfrac{6,3\sin54^\circ}{\sin63^\circ}\approx5,56\).
   Ответ: \(A=B=63^\circ, C=54^\circ;\ c\approx5,56\).
7. ж) По теореме косинусов: \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos87^\circ\), поэтому \(a\approx54,06\). Далее по теореме синусов: \(B\approx36,0^\circ, C\approx57,0^\circ\).
   Ответ: \(a\approx54,06, B\approx36,0^\circ, C\approx57,0^\circ\).
8. з) По теореме косинусов: \(A\approx43,6^\circ, B\approx58,0^\circ, C\approx78,4^\circ\).
   Ответ: \(A\approx43,6^\circ, B\approx58,0^\circ, C\approx78,4^\circ\).
9. и) По теореме косинусов: \(A\approx53,5^\circ, B\approx87,9^\circ, C\approx38,6^\circ\).
   Ответ: \(A\approx53,5^\circ, B\approx87,9^\circ, C\approx38,6^\circ\).