18. Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна a, а прилежащие к этой стороне углы равны α и β.

Пусть сторона \(AB=a\), \(\angle A=\alpha\), \(\angle B=\beta\), тогда \(\angle C=180^\circ-\alpha-\beta\).

По теореме синусов:

\(AC=b=\dfrac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}\), \(BC=c=\dfrac{a\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\).

Длина биссектрисы угла A:

\(l_a=\dfrac{2bc\cos(\alpha/2)}{b+c}\).

Длина биссектрисы угла B:

\(l_b=\dfrac{2ac\cos(\beta/2)}{a+c}\).

Длина биссектрисы угла C:

\(l_c=\dfrac{2ab\cos((180^\circ-\alpha-\beta)/2)}{a+b}\).

Ответ: биссектрисы определяются приведёнными формулами после подстановки \(b\), \(c\) через \(a\), \(\alpha\), \(\beta\).