14. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 35, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 14√6. Найдите sinB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) с катетом \( AC = 35 \) и высотой \( CH = 14\sqrt{6} \), опущенной на гипотенузу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle CHB \). Угол \( \angle BCH \) равен углу \( \angle B \) (так как \( CH \) и \( BC \) перпендикуляры к \( AC \) и \( AB \) соответственно, а \( CH \) перпендикулярна \( AB \)).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACH \), \( \angle CAH = \angle A \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \), \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ACH \). Угол \( \angle ACH = 90^{\circ} - \angle A = \angle B \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle BCH \), \( \angle BCH = 90^{\circ} - \angle B = \angle A \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACH \), \( \sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{14\sqrt{6}}{35} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \).

Так как \( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \), то \( \sin B = \cos A \).

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

\( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left( \frac{2\sqrt{6}}{5} \right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25} \).

Так как \( A \) - острый угол в прямоугольном треугольнике, \( \cos A > 0 \).

\( \cos A = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} \).

Следовательно, \( \sin B = \cos A = \frac{1}{5} \).

Ответ: \( \frac{1}{5} \).