3. В треугольнике АВС AB=BC=15, AC=24. Найдите длину медианы ВМ.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) с \( AB = BC \) медиана \( BM \), проведённая к основанию \( AC \), является также высотой и биссектрисой.

Поэтому \( BM \) перпендикулярна \( AC \), и \( AM = MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BMA \).

По теореме Пифагора: \( AB^2 = BM^2 + AM^2 \).

\( 15^2 = BM^2 + 12^2 \)

\( 225 = BM^2 + 144 \)

\( BM^2 = 225 - 144 \)

\( BM^2 = 81 \)

\( BM = \sqrt{81} = 9 \).

Ответ: 9.