14) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² - 5x + 6 и y = 0

Решение:

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 - 5x + 6 \) и осью \( Ox \) (где \( y=0 \)), нам нужно найти точки пересечения параболы с осью \( Ox \). Для этого приравняем \( y \) к нулю:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта или теоремы Виета. По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = 5 \]

\[ x_1 \cdot x_2 = 6 \]

Корнями являются \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \).

Парабола \( y = x^2 - 5x + 6 \) направлена ветвями вверх (коэффициент при \( x^2 \) положителен). Следовательно, между корнями \( x=2 \) и \( x=3 \) функция принимает отрицательные значения.

Площадь фигуры \( S \) находится как интеграл от функции, взятый с обратным знаком (так как фигура ниже оси \( Ox \)), от \( x=2 \) до \( x=3 \):

\[ S = - \int_2^3 (x^2 - 5x + 6) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \int (x^2 - 5x + 6) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x \right]_2^3 \]

\[ S = - \left( \left(\frac{3^3}{3} - \frac{5 \cdot 3^2}{2} + 6 \cdot 3\right) - \left(\frac{2^3}{3} - \frac{5 \cdot 2^2}{2} + 6 \cdot 2\right) \right) \]

\[ S = - \left( \left(\frac{27}{3} - \frac{45}{2} + 18\right) - \left(\frac{8}{3} - \frac{20}{2} + 12\right) \right) \]

\[ S = - \left( \left(9 - 22,5 + 18\right) - \left(\frac{8}{3} - 10 + 12\right) \right) \]

\[ S = - \left( (27 - 22,5) - (\frac{8}{3} + 2) \right) \]

\[ S = - \left( 4,5 - (\frac{8}{3} + \frac{6}{3}) \right) \]

\[ S = - \left( 4,5 - \frac{14}{3} \right) \]

\[ S = - \left( \frac{9}{2} - \frac{14}{3} \right) \]

\[ S = - \left( \frac{27}{6} - \frac{28}{6} \right) \]

\[ S = - \left( -\frac{1}{6} \right) \]

\[ S = \frac{1}{6} \]

Ответ: \(\frac{1}{6}\)