15) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x² + 2x - 8 в точке X₀=2.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) имеет вид:

\[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \]

Сначала найдём значение функции в точке \( x_0 = 2 \):

\[ f(2) = 2^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0 \]

Теперь найдём производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = (x^2 + 2x - 8)' = 2x + 2 \]

Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 2 \):

\[ f'(2) = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 \]

Подставим значения \( f(x_0) = 0 \), \( f'(x_0) = 6 \) и \( x_0 = 2 \) в уравнение касательной:

\[ y - 0 = 6(x - 2) \]

\[ y = 6x - 12 \]

Ответ: y = 6x - 12