6) Вычислить \( \int_1^2 3x^2 dx \)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла \( \int_1^2 3x^2 dx \) сначала найдём первообразную функции \( 3x^2 \).

\[ \int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \]

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \]

Где \( F(x) = x^3 \), \( a=1 \), \( b=2 \).

\[ \int_1^2 3x^2 dx = (2)^3 - (1)^3 \]

\[ = 8 - 1 = 7 \]

Ответ: 7