16) Радиусы оснований усеченного конуса 9 и 12 дм, а высота 4дм. Найдите образующую конуса и площадь осевого сечения.

Решение:

1. Нахождение образующей усеченного конуса:

Обозначим радиусы оснований как \( r_1 = 9 \) дм и \( r_2 = 12 \) дм, высоту как \( h = 4 \) дм. Образующую \( l \) найдём с помощью теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота \( h \) и разность радиусов \( |r_2 - r_1| \), а гипотенузой — образующая \( l \).

\[ l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2 \]

\[ l^2 = (4 \text{ дм})^2 + (12 \text{ дм} - 9 \text{ дм})^2 \]

\[ l^2 = 16 + (3)^2 \]

\[ l^2 = 16 + 9 \]

\[ l^2 = 25 \]

\[ l = \sqrt{25} = 5 \text{ дм} \]

2. Нахождение площади осевого сечения:

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобокая трапеция. Её основаниями являются диаметры оснований конуса, а высотой — высота конуса.

Диаметр большего основания \( d_2 = 2 \cdot r_2 = 2 \cdot 12 = 24 \) дм.

Диаметр меньшего основания \( d_1 = 2 \cdot r_1 = 2 \cdot 9 = 18 \) дм.

Высота трапеции \( h = 4 \) дм.

Площадь трапеции \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

Где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — её высота.

\[ S = \frac{24 \text{ дм} + 18 \text{ дм}}{2} \cdot 4 \text{ дм} \]

\[ S = \frac{42}{2} \cdot 4 \]

\[ S = 21 \cdot 4 \]

\[ S = 84 \text{ дм}^2 \]

Ответ: образующая конуса — 5 дм, площадь осевого сечения — 84 дм².