14. Вычислите ∫(x+2)² dx от 0 до 2

Решение:

Вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{0}^{2} (x+2)^2 dx \]

Сначала найдём первообразную для \( (x+2)^2 \). Пусть \( u = x+2 \), тогда \( du = dx \).

Первообразная \( \int u^2 du = \frac{u^3}{3} \). Подставляя обратно \( u = x+2 \), получаем \( \frac{(x+2)^3}{3} \).

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \left[ \frac{(x+2)^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{(2+2)^3}{3} - \frac{(0+2)^3}{3} \]

\[ = \frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{8}{3} \]

\[ = \frac{64 - 8}{3} = \frac{56}{3} \]

Ответ: 56/3