7. Вычислите логарифм 62log63, выберите правильный ответ

Решение:

Представим \( 6 \) как \( 2 \cdot 3 \).

\[ \log_{6} 3 \cdot \log_{2} 6 = \log_{6} 3 \cdot \frac{\log_{6} 6}{\log_{6} 2} \]

\[ = \frac{\log_{6} 3}{\log_{6} 2} \]

Используем формулу перехода к новому основанию \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \) в обратную сторону:

\[ = \log_{2} 3 \]

В условии задачи, вероятно, имелось в виду \( \log_6 3 \cdot \log_2 6 \). Если же это \( 6^{\log_6 3} \), то ответ будет \( 3 \).

Если же в задании было \( \log_{6} 3 \cdot \log_{2} 6 \), то верный ответ \( \log_2 3 \). Такой опции нет.

Проверим вариант, где \( \log_6 3 \) и \( \log_2 6 \) — это множители. \( \log_2 6 = \log_2(2 · 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + \log_2 3 \).

\( \log_6 3 \cdot \log_2 6 = \log_6 3 \cdot (1 + \log_2 3) \). Это не упрощается к целому числу.

Если предположить, что задание было \( \log_{6} 3 \cdot 6^{\log_2 3} \), это тоже не ведёт к ответу.

Рассмотрим другой вариант: \( 6 \) в основании, \( \log_2 3 \) в показателе: \( 6^{\log_2 3} \). Не подходит.

Если посмотреть на варианты ответа, то \( 3 \) и \( 6 \) — числа, \( 9 \) — число. \( 16 \) — число.

Предположим, что в задании было \( 6^{\log_6 3} \). Тогда ответ \( 3 \).

Предположим, что в задании было \( \log_2 6 \cdot \log_3 2 \). По формуле \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \), \( \log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3} \). Тогда \( \log_2 6 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = \frac{\log_2 6}{\log_2 3} = \log_3 6 \). Не подходит.

Ещё один вариант: \( \log_6 3 \cdot \log_2 36 \). \( \log_2 36 = \log_2 (6^2) = 2 \log_2 6 = 2 (1 + \log_2 3) \). Не подходит.

Если задача — \( \log_6 3 \cdot 6 \), то это \( 6 \log_6 3 \). Не подходит.

Если предположить, что у нас \( 3^{\log_6 2} \), или \( 2^{\log_6 3} \) — не приводит к ответу.

Возможно, задание было \( \log_6 36 \) или \( \log_3 9 \) и т.д.

Если предположить, что в задании было \( \log_2 3 \cdot \log_3 6 \), то \( \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 6}{\log_2 3} = \log_2 6 \). Не подходит.

Наиболее вероятным является интерпретация \( 6^{\log_6 3} = 3 \).

Ответ: A. 3