15. (1 балл) Материал, из которого изготовлена труба, имеет удельную теплоёмкость c = 1000 Дж/(кг·°C). Через трубу длиной L = 5 метров, протекает жидкость. Температура жидкости меняется по закону S(t) = t² + 10t + 20 (где S - температура в °C, t - время в секундах). Какой момент времени t, температура жидкости станет 100°C?

Решение:

Температура жидкости изменяется по закону \( S(t) = t^2 + 10t + 20 \).

Нам нужно найти момент времени \( t \), когда температура \( S(t) \) станет \( 100°C \).

Приравняем закон изменения температуры к 100:

\[ t^2 + 10t + 20 = 100 \]

Перенесём 100 в левую часть уравнения:

\[ t^2 + 10t + 20 - 100 = 0 \]

\[ t^2 + 10t - 80 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 100 + 320 = 420 \]

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{420}}{2} \]

\[ t = \frac{-10 \pm \sqrt{4 \cdot 105}}{2} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{105}}{2} = -5 \pm \sqrt{105} \]

Так как время \( t \) не может быть отрицательным, выберем положительное значение:

\[ t = -5 + \sqrt{105} \]

\( \sqrt{100} = 10 \), \( \sqrt{121} = 11 \). \( \sqrt{105} \) приблизительно равно 10.25.

\[ t \approx -5 + 10.25 = 5.25 \text{ секунд} \]

Ответ: \( t = -5 + \sqrt{105} \) секунд.