5. (1 балл) Найдите значение выражения log₆ 270 - log₆ 7,5 + log₄ log₅ 25.

Решение:

Сначала упростим логарифмы:

log₆ 270 - log₆ 7,5

Используем свойство логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \):

\[ \log_6 \frac{270}{7.5} = \log_6 \frac{2700}{75} = \log_6 36 \]

Так как \( 6^2 = 36 \), то \( \log_6 36 = 2 \).

log₄ log₅ 25

Сначала найдём внутренний логарифм: \( \log_5 25 \). Так как \( 5^2 = 25 \), то \( \log_5 25 = 2 \).

Теперь найдём \( \log_4 2 \). Пусть \( \log_4 2 = x \), тогда \( 4^x = 2 \). Так как \( 4 = 2^2 \), то \( (2^2)^x = 2^1 \), \( 2^{2x} = 2^1 \). Отсюда \( 2x = 1 \), \( x = \frac{1}{2} \).

Теперь сложим полученные значения:

\[ 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Ответ: 2,5.