15. (1 балл) Основания трапеции равны 5 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей

Решение:

Пусть \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( a=5 \) и \( b=9 \). Пусть \( MN \) — средняя линия трапеции, где \( M \) лежит на боковой стороне \( AD \) и \( N \) — на \( BC \).

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \( MN = \frac{a+b}{2} = \frac{5+9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

Пусть \( AC \) — одна из диагоналей трапеции. Диагональ \( AC \) пересекает среднюю линию \( MN \) в точке \( K \).

Точка \( K \) делит среднюю линию \( MN \) на два отрезка: \( MK \) и \( KN \).

Отрезок \( MK \) является средней линией треугольника \( ADC \). Он параллелен основанию \( AC \) и равен половине основания \( CD \) (основание \( a=5 \)).

Отрезок \( KN \) является средней линией треугольника \( ABC \). Он параллелен основанию \( AB \) (основание \( b=9 \)) и равен половине основания \( AB \).

Важное замечание: Диагональ делит среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований.

Длина отрезка \( MK \) равна половине одного из оснований, а длина отрезка \( KN \) равна половине другого основания. Т.е., отрезки будут равны \( \frac{a}{2} \) и \( \frac{b}{2} \).

В нашем случае, отрезки равны:

\( \frac{5}{2} = 2.5 \) и \( \frac{9}{2} = 4.5 \).

Больший из этих отрезков равен 4.5.

Ответ: 4,5.