19. (3 балла) Найдите промежутки монотонности функции f(x) = 2x³ + 9x² - 24x

Решение:

Чтобы найти промежутки монотонности функции, нужно найти её производную и определить знаки этой производной.

Найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 - 24x) \]\[ f'(x) = 2 \cdot 3x^{3-1} + 9 \cdot 2x^{2-1} - 24 \cdot 1x^{1-1} \]\[ f'(x) = 6x^2 + 18x - 24 \]

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить критические точки:

\[ 6x^2 + 18x - 24 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 6:

\[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -3 \) и \( x_1 \cdot x_2 = -4 \).

Корни уравнения: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -4 \).

Теперь исследуем знаки производной \( f'(x) \) на интервалах, полученных с помощью критических точек: \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 1) \) и \( (1, +\infty) \).

• Возьмем число из интервала \( (-\infty, -4) \), например, \( x = -5 \):

\[ f'(-5) = 6(-5)^2 + 18(-5) - 24 = 6(25) - 90 - 24 = 150 - 90 - 24 = 60 - 24 = 36 \]. \( f'(x) > 0 \), значит, функция возрастает на этом интервале.

Возьмем число из интервала \( (-4, 1) \), например, \( x = 0 \):

\[ f'(0) = 6(0)^2 + 18(0) - 24 = -24 \]. \( f'(x) < 0 \), значит, функция убывает на этом интервале.

Возьмем число из интервала \( (1, +\infty) \), например, \( x = 2 \):

\[ f'(2) = 6(2)^2 + 18(2) - 24 = 6(4) + 36 - 24 = 24 + 36 - 24 = 36 \]. \( f'(x) > 0 \), значит, функция возрастает на этом интервале.

Функция возрастает там, где \( f'(x) > 0 \), и убывает там, где \( f'(x) < 0 \).

Ответ: Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -4] \) и \( [1, +\infty) \). Функция убывает на интервале \( [-4, 1] \).