22. (3 балла) Найдите все решения уравнения 2 cos²x - cosx-1=0, принадлежащие отрезку [0;2π]

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \cos x \).

Пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2t^2 - t - 1 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]\[ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 \]

Теперь вернемся к замене \( t = \cos x \). У нас два случая:

Случай 1: \( \cos x = 1 \)

Решениями этого уравнения являются \( x = 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

На отрезке \( [0; 2\pi] \) это решение: \( x = 0 \) (при \( k=0 \)) и \( x = 2\pi \) (при \( k=1 \)).

Случай 2: \( \cos x = -0.5 \)

На тригонометрическом круге косинус равен -0.5 в двух точках. Основной угол, где \( \cos x = 0.5 \), это \( \frac{\pi}{3} \).

Так как косинус отрицателен во II и III четвертях, решения будут:

• Во II четверти: \( x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \).
• В III четверти: \( x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \).

Эти значения также принадлежат отрезку \( [0; 2\pi] \).

Таким образом, все решения уравнения на отрезке \( [0; 2\pi] \) следующие:

Ответ: \( 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi \).