15. (2 балла) Решите уравнение $$\sin 2x - \sin x = 2 \cos x - 1$$.

Используем формулу двойного угла для синуса: $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$.

Подставляем в уравнение:

$$2 \sin x \cos x - \sin x = 2 \cos x - 1$$

Перенесем все члены в одну сторону:

$$2 \sin x \cos x - \sin x - 2 \cos x + 1 = 0$$

Сгруппируем члены:

$$(2 \sin x \cos x - 2 \cos x) - (\sin x - 1) = 0$$

Вынесем общий множитель из первой группы:

$$2 \cos x (\sin x - 1) - (\sin x - 1) = 0$$

Вынесем общую скобку $$(\sin x - 1)$$:

$$(\sin x - 1)(2 \cos x - 1) = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Случай 1: $$\sin x - 1 = 0$$

$$\sin x = 1$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k$$, где $$k$$ - целое число.

Случай 2: $$2 \cos x - 1 = 0$$

$$2 \cos x = 1$$

$$\cos x = \frac{1}{2}$$

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n$$, где $$n$$ - целое число.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k$$ или $$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$.