19. (3 балла) Решить уравнение $$(2x^2 - 3x - 2)\sqrt{3x+1} = 0$$

Уравнение вида $$A \times B = 0$$ выполняется, если $$A=0$$ или $$B=0$$.

Также необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня: выражение под корнем должно быть неотрицательным.

1. ОДЗ:

$$\\sqrt{3x+1}$$ определен, когда $$3x+1 \ge 0$$

$$3x \ge -1$$

$$x \ge -1/3$$

2. Решаем уравнение, приравнивая каждый множитель к нулю:

Случай 1: $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$$

$$\\sqrt{D} = 5$$

$$x1 = (-b + \sqrt{D}) / (2a) = (3 + 5) / (2*2) = 8 / 4 = 2$$

$$x2 = (-b - \sqrt{D}) / (2a) = (3 - 5) / (2*2) = -2 / 4 = -1/2$$

Случай 2: $$\\sqrt{3x+1} = 0$$

Возведем обе части в квадрат:

$$3x + 1 = 0$$

$$3x = -1$$

$$x = -1/3$$

3. Проверка по ОДЗ ($$x ≥ -1/3$$):

Для $$x1 = 2$$: $$2 ≥ -1/3$$ (Верно).

Для $$x2 = -1/2$$: $$-1/2 = -0.5$$. $$-0.5 < -1/3$$ (Неверно, так как $$-1/3 \approx -0.33$$). Значит, $$x = -1/2$$ не является решением.

Для $$x = -1/3$$: $$-1/3 ≥ -1/3$$ (Верно).

Ответ: $$x = 2$$ и $$x = -1/3$$