16. (2 балла) Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45°. Объем призмы равен 108 см³. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Дано:

• Призма прямая.
• Основание - прямоугольный треугольник.
• Один катет (a) = 6 см.
• Один острый угол = 45°.
• Объем призмы (V) = 108 см³.

Найти: Площадь полной поверхности призмы (S_полн).

Решение:

1. Находим элементы основания (прямоугольного треугольника):
2. Так как один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (180° - 90° - 45° = 45°). Это означает, что треугольник равнобедренный.
3. Следовательно, второй катет (b) равен первому катету: b = a = 6 см.
4. Найдем площадь основания (S_осн):
5. S_осн = (1/2) * a * b = (1/2) * 6 см * 6 см = 18 см².
6. Найдем гипотенузу (c) по теореме Пифагора: c² = a² + b² = 6² + 6² = 36 + 36 = 72.
7. c = √72 = 6√2 см.
8. Находим высоту призмы (h):
9. Объем призмы V = S_осн * h.
10. 108 см³ = 18 см² * h.
11. h = 108 см³ / 18 см² = 6 см.
12. Находим площадь боковой поверхности (S_бок):
13. S_бок = Периметр основания * h.
14. Периметр основания (P_осн) = a + b + c = 6 см + 6 см + 6√2 см = (12 + 6√2) см.
15. S_бок = (12 + 6√2) см * 6 см = (72 + 36√2) см².
16. Находим площадь полной поверхности (S_полн):
17. S_полн = S_бок + 2 * S_осн.
18. S_полн = (72 + 36√2) см² + 2 * 18 см².
19. S_полн = (72 + 36√2) см² + 36 см².
20. S_полн = (108 + 36√2) см².

Ответ: (108 + 36√2) см²