15. (3 балла) Решите уравнение: √x² + 2x + 10 = 2x - 1

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x - 1 \) сначала возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{x^2 + 2x + 10})^2 = (2x - 1)^2 \]

\[ x^2 + 2x + 10 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 \]

\[ x^2 + 2x + 10 = 4x^2 - 4x + 1 \]

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 10 = 0 \]

\[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 3 для упрощения:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

Способ 1: Дискриминант

\( a = 1, b = -2, c = -3 \)

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Способ 2: Теорема Виета

Сумма корней \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2 \)

Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3 \)

Подбираем корни: \( 3 \) и \( -1 \).

Проверка:

Необходимо учесть условие \( 2x - 1 \ge 0 \) (поскольку корень не может быть отрицательным).

\[ 2x \ge 1 \]

\[ x \ge \frac{1}{2} \]

Проверяем найденные корни:

• Для \( x = 3 \): \( 3 \ge \frac{1}{2} \) — верно.
• Для \( x = -1 \): \( -1 \ge \frac{1}{2} \) — неверно.

Следовательно, посторонний корень \( x = -1 \) необходимо отбросить.

Ответ: x = 3.