Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Исследование функции \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \)
- Находим производную функции:
\[ y' = \left( \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \right)' \]
\[ y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x - 3 \]
\[ y' = x^2 + 2x - 3 \]
- Находим критические точки (где производная равна нулю или не существует):
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение. Используем теорему Виета: сумма корней равна -2, произведение корней равно -3.
Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).
Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).
- Определяем промежутки возрастания и убывания:
Расставим критические точки на числовой прямой и определим знак производной на интервалах:
- Интервал \( (-\infty; -3) \): Возьмём \( x = -4 \). \( y'(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0 \). Функция возрастает.
- Интервал \( (-3; 1) \): Возьмём \( x = 0 \). \( y'(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
- Интервал \( (1; +\infty) \): Возьмём \( x = 2 \). \( y'(2) = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0 \). Функция возрастает.
Промежутки возрастания: \( (-\infty; -3] \) и \( [1; +\infty) \).
Промежутки убывания: \( [-3; 1] \).
- Находим точки экстремума:
При переходе через \( x = -3 \) производная меняет знак с \( + \) на \( - \), значит, в этой точке локальный максимум.
При переходе через \( x = 1 \) производная меняет знак с \( - \) на \( + \), значит, в этой точке локальный минимум.
Найдем значения функции в точках экстремума:
- Максимум в \( x = -3 \): \( y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9 \). Точка максимума: \( (-3; 9) \).
- Минимум в \( x = 1 \): \( y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3} \). Точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).
Итог:
Функция возрастает на промежутках: \( (-\infty; -3] \) и \( [1; +\infty) \).
Функция убывает на промежутке: \( [-3; 1] \).
Точка максимума: \( (-3; 9) \).
Точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).
