16. (3 балла) Решите уравнение: cos²x - sinx +1=0.

Решение:

Заменим \( \cos^2 x \) через \( 1 - \sin^2 x \) согласно основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

\( (1 - \sin^2 x) - \sin x + 1 = 0 \)

\( 1 - \sin^2 x - \sin x + 1 = 0 \)

\( -\sin^2 x - \sin x + 2 = 0 \)

Умножим все члены уравнения на -1:

\( \sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( t^2 + t - 2 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{9} = 3 \).

Найдем значения \( t \):

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \).

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \):

1) \( \sin x = 1 \)

Это частный случай. Решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

2) \( \sin x = -2 \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса может находиться только в пределах от -1 до 1 ( \( -1 \le \sin x \le 1 \) ).

Таким образом, единственным решением исходного уравнения являются значения \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).