15 Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°.

Решение:

а) Соответственные углы равны.

1. Пусть прямые a и b параллельны (a || b), и секущая c пересекает их.
2. Пусть ∠1 — внешний угол, а ∠2 — внутренний угол, расположенный с ним на одной стороне секущей.
3. Рассмотрим вертикальный угол к ∠1, назовем его ∠3. ∠3 = ∠1.
4. Углы ∠3 и ∠2 являются внутренними накрест лежащими.
5. По теореме о равенстве внутренних накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых секущей, ∠3 = ∠2.
6. Из равенств ∠3 = ∠1 и ∠3 = ∠2 следует, что ∠1 = ∠2.
7. Таким образом, соответственные углы равны.

б) Сумма односторонних углов равна 180°.

1. Пусть прямые a и b параллельны (a || b), и секущая c пересекает их.
2. Пусть ∠1 и ∠2 — односторонние углы.
3. Пусть ∠3 — внутренний накрест лежащий угол к ∠2.
4. Так как a || b, то ∠3 = ∠2.
5. Углы ∠1 и ∠3 являются смежными, так как составляют развернутый угол. Следовательно, ∠1 + ∠3 = 180°.
6. Заменяя ∠3 на ∠2 (поскольку они равны), получаем: ∠1 + ∠2 = 180°.
7. Таким образом, сумма односторонних углов равна 180°.

Ответ: Доказано.