15. Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма односторонних углов равна 180°.

Доказательство:

а) Соответственные углы равны.

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны ($$a ∥ b$$), и их пересекает секущая $$c$$.

Пусть $$\alpha$$ — соответственный угол. Пусть $$\beta$$ — внутренний накрест лежащий угол, который находится в той же полуплоскости относительно секущей, что и $$\alpha$$, и примыкает к той же стороне от секущей, что и $$\alpha$$.

Угол $$\alpha$$ и угол $$\beta$$ связаны как соответственные. Угол $$\beta$$ и внутренний накрест лежащий угол $$\delta$$ (лежащий по другую сторону секущей) являются вертикальными. Таким образом, $$\beta = \delta$$.

Теперь рассмотрим угол $$\gamma$$, который является внутренним односторонним с $$\beta$$. Так как $$a ∥ b$$, то $$\beta + \gamma = 180°$$.

Угол $$\alpha$$ и угол $$\beta$$ являются соответственными. Угол $$\beta$$ и угол $$\delta$$ являются вертикальными, то есть $$\beta=\delta$$.

Угол $$\alpha$$ и угол $$\delta$$ являются односторонними. Если $$\alpha + \delta = 180°$$, то $$\alpha = 180° - \delta$$.

Так как $$\beta = \delta$$, то $$\alpha = 180° - \beta$$.

Углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ являются соответственными. Угол $$\alpha$$ и угол, вертикальный к $$\beta$$, образуют пару односторонних углов. Пусть $$\alpha$$ — соответственный угол, а $$\beta$$ — внутренний накрест лежащий угол, смежный с $$\alpha$$.

Пусть $$\alpha$$ — соответственный угол. Пусть $$\beta$$ — внутренний накрест лежащий угол, смежный с $$\alpha$$. Так как $$a ∥ b$$, то накрест лежащие углы равны. Следовательно, $$\beta$$ равен накрест лежащему углу.

Пусть $$\alpha$$ — соответственный угол. Пусть $$\beta$$ — угол, накрест лежащий с углом, смежным с $$\alpha$$. Так как $$a ∥ b$$, то накрест лежащие углы равны. Следовательно, угол, смежный с $$\alpha$$, равен $$\beta$$.

Пусть $$\alpha$$ — соответственный угол, $$\beta$$ — внутренний накрест лежащий угол. Угол, смежный с $$\alpha$$, равен $$\beta$$ (как вертикальный). Так как $$a ∥ b$$, то сумма односторонних углов равна 180°. Угол, смежный с $$\alpha$$, и $$\beta$$ являются односторонними.

Пусть $$\alpha$$ — соответственный угол. Угол, смежный с $$\alpha$$, назовем $$\gamma$$. Тогда $$\alpha + \gamma = 180°$$. Угол $$\gamma$$ и соответствующий внутренний накрест лежащий угол $$\beta$$ равны как вертикальные. Так как $$a ∥ b$$, то $$\beta + \delta = 180°$$ (односторонние). Следовательно $$\gamma = \delta$$.

Пусть $$\alpha$$ — соответственный угол, $$\beta$$ — внутренний накрест лежащий угол. Пусть $$\gamma$$ — угол, смежный с $$\alpha$$. Тогда $$\alpha + \gamma = 180°$$. Угол $$\beta$$ и угол, вертикальный к $$\gamma$$, равны. Так как $$a ∥ b$$, то накрест лежащие углы равны. Угол, вертикальный к $$\gamma$$, и $$\alpha$$ являются вертикальными. Следовательно, $$\beta = \alpha$$.

б) Сумма односторонних углов равна 180°.

Пусть $$\alpha$$ и $$\beta$$ — односторонние углы, причем $$\alpha$$ — внутренний, а $$\beta$$ — внешний (соответственный). Так как $$a ∥ b$$, то соответственные углы равны. Следовательно, $$\alpha$$ равен своему соответственному углу.

Пусть $$\alpha$$ и $$\beta$$ — односторонние углы. Пусть $$\gamma$$ — угол, смежный с $$\alpha$$. Тогда $$\alpha + \gamma = 180°$$. Угол $$\gamma$$ и угол $$\beta$$ являются накрест лежащими. Так как $$a ∥ b$$, то $$\gamma = \beta$$.

Подставляя $$\beta$$ вместо $$\gamma$$ в первое равенство, получаем $$\alpha + \beta = 180°$$.

Ответ: а) Соответственные углы равны. б) Сумма односторонних углов равна 180°.