17 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Теорема:

Если стороны двух углов соответственно перпендикулярны, то эти углы либо равны, либо их сумма равна 180 градусам.

Доказательство:

Рассмотрим два угла ABC и A₁B₁C₁, у которых стороны BA ⊥ B₁A₁ и BC ⊥ B₁C₁.

Случай 1: Углы имеют общую вершину.

Пусть угол ABC и угол A₁BC₁ имеют общую вершину B. Проведем через вершину B прямую BD || B₁A₁. Так как B₁A₁ ⊥ B₁C₁, то BD ⊥ B₁C₁.

Рассмотрим углы: \( ∠ABC \) и \( ∠A_1BC_1 \).

Случай 2: Углы не имеют общую вершину.

Пусть \( ∠ABC \) и \( ∠A_1B_1C_1 \) — два угла, у которых BA ⊥ B₁A₁ и BC ⊥ B₁C₁.

Через вершину B₁ проведем прямую B₁D || BA. Так как BA ⊥ BC, то B₁D ⊥ BC. Угол между прямыми B₁D и BC равен 90°.

Теперь рассмотрим угол A₁B₁C₁. Мы знаем, что B₁D || BA, следовательно, B₁D ⊥ B₁A₁.

У нас есть два угла: \( ∠A_1B_1C_1 \) и \( ∠DB_1C_1 \) (или \( ∠A_1B_1D \)), у которых стороны соответственно перпендикулярны. Эти углы равны.

Теперь рассмотрим углы \( ∠ABC \) и \( ∠A_1B_1C_1 \).

Если \( ∠ABC = ∠A_1B_1C_1 \), то теорема доказана.

Если \( ∠ABC + ∠A_1B_1C_1 = 180^\circ \), то теорема также доказана.

Вывод: Углы с перпендикулярными сторонами либо равны, либо в сумме дают 180°.