17 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Решение:

Теорема: Углы с соответственно перпендикулярными сторонами либо равны, либо в сумме дают 180°.

Доказательство:

1. Пусть даны два угла: ∠AOB и ∠CKD, у которых стороны OA ⊥ KC и OB ⊥ KD.
2. Случай 1: Углы одноименные (вершины находятся по одну сторону от секущих).
3. Рассмотрим, как получить угол, имеющий те же стороны, что и ∠CKD, но одноименный с ∠AOB.
4. Через вершину C проведем прямую, перпендикулярную стороне KC. По условию, OA ⊥ KC, значит, эта новая прямая будет параллельна OA.
5. Через вершину K проведем прямую, перпендикулярную стороне KD. По условию, OB ⊥ KD, значит, эта новая прямая будет параллельна OB.
6. Таким образом, мы построили угол, стороны которого параллельны сторонам ∠AOB и одноименны с ним.
7. Из теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами следует, что этот построенный угол равен ∠AOB.
8. Теперь заметим, что исходный угол ∠CKD и построенный нами угол являются одноименными углами при пересечении параллельных прямых (например, KC и построенная прямая через C, и KD и построенная прямая через K).
9. Следовательно, ∠CKD равен построенному углу, а значит, ∠CKD = ∠AOB.
10. Случай 2: Углы разноименные (вершины находятся по разные стороны от секущих).
11. Продолжим сторону OB за вершину O до точки P. Тогда угол ∠AOP является смежным с ∠AOB.
12. Угол ∠CKD и угол ∠AOP имеют соответственно перпендикулярные стороны.
13. Из случая 1 следует, что ∠CKD = ∠AOP.
14. Углы ∠AOB и ∠AOP — смежные, следовательно, ∠AOB + ∠AOP = 180°.
15. Заменяя ∠AOP на ∠CKD, получаем ∠AOB + ∠CKD = 180°.

Ответ: Доказано.