16 Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Теорема:

Если две параллельные прямые пересечены третьей (трансверсалью), то:

1. Соответственные углы равны.
2. Накрест лежащие углы равны.
3. Односторонние углы в сумме дают 180 градусов.

Доказательство (на примере соответствующих углов):

Пусть прямые a и b параллельны (a || b), и их пересекает прямая c. Образуются углы, обозначенные цифрами. Рассмотрим углы 1 и 5 как соответствующие.

1. Угол 1 и угол 3 — смежные. Их сумма равна 180 градусов: \( ∠1 + ∠3 = 180^\circ \).

2. Угол 3 и угол 5 — накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c. Следовательно, \( ∠3 = ∠5 \).

3. Подставим \( ∠3 \) из второго равенства в первое: \( ∠1 + ∠5 = 180^\circ \). Это односторонние углы, их сумма 180 градусов.

4. Угол 1 и угол 3 — вертикальные, значит \( ∠1 = ∠3 \).

5. Угол 3 и угол 7 — соответственные. Если \( a || b \), то \( ∠3 = ∠7 \).

6. Так как \( ∠1 = ∠3 \) и \( ∠3 = ∠7 \), то \( ∠1 = ∠7 \). Углы 1 и 7 — соответственные, и они равны. Теорема доказана.