15. Решите неравенство (х+5)²-6 / (-19) ≥ 0.

Решение:

1. Приведем неравенство к виду:
• \[ \frac{(x+5)^2 - 6}{-19} \ge 0 \]
2. Умножим обе части на -19, меняя знак неравенства на противоположный:
• \[ (x+5)^2 - 6 \le 0 \]
3. Разложим левую часть как разность квадратов (a² - b² = (a-b)(a+b)), где a = x+5, b = √6:
• \[ (x+5 - \sqrt{6})(x+5 + \sqrt{6}) \le 0 \]
4. Найдем корни уравнения:
• \[ x+5 - \sqrt{6} = 0 \implies x = \sqrt{6} - 5 \]
• \[ x+5 + \sqrt{6} = 0 \implies x = -\sqrt{6} - 5 \]
5. Определим интервалы на числовой прямой:
• Числа ai \(\sqrt{6} \approx 2.45\).
• \[ -\sqrt{6} - 5 \approx -2.45 - 5 = -7.45 \]
• \[ \sqrt{6} - 5 \approx 2.45 - 5 = -2.55 \]
• Интервалы: ai (-\infty; -\sqrt{6} - 5]\), ai [-\sqrt{6} - 5; \sqrt{6} - 5]\), ai [\sqrt{6} - 5; +\infty)\)
• Проверим знаки на интервалах:
• При \( x = -8 \): \((-8+5)^2 - 6 = (-3)^2 - 6 = 9 - 6 = 3 \ge 0 \) (неверно, так как мы умножали на -19)
• С учетом умножения на -19: \( (x+5)^2 - 6 \le 0 \)
• При \( x = -8 \): \((-8+5)^2 - 6 = 3 \le 0 \) (неверно)
• При \( x = -5 \): \((-5+5)^2 - 6 = -6 \le 0 \) (верно)
• При \( x = 0 \): \((0+5)^2 - 6 = 25 - 6 = 19 \le 0 \) (неверно)
• Таким образом, решение неравенства:
• ai [-\sqrt{6} - 5; \sqrt{6} - 5]\)

Ответ: [ -sqrt(6)-5 ; sqrt(6)-5 ]