15 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.

Решение:

Теорема о биссектрисе угла: Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Доказательство:

1. Пусть l — биссектриса угла ∠AOB, а точка M — произвольная точка биссектрисы. Проведем из M перпендикуляры MP и MQ к сторонам OA и OB соответственно.
2. Рассмотрим ΔMPO и ΔMQO. Они являются прямоугольными (∠MPO = ∠MQO = 90°).
3. Сторона MO является общей гипотенузой.
4. ∠MOP = ∠MOQ, так как OM — биссектриса ∠AOB.
5. Следовательно, ΔMPO = ΔMQO по гипотенузе и острому углу.
6. Из равенства треугольников следует, что MP = MQ. Таким образом, любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
7. Обратно, пусть точка M равноудалена от сторон OA и OB, то есть MP = MQ.
8. Рассмотрим ΔMPO и ΔMQO. Они прямоугольные, гипотенуза MO — общая, а катеты MP = MQ.
9. Следовательно, ΔMPO = ΔMQO по гипотенузе и катету.
10. Из равенства треугольников следует, что ∠MOP = ∠MOQ. Значит, точка M лежит на биссектрисе ∠AOB.

Вывод: Теорема доказана.