16 Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение:

Теорема: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1. Пусть в ΔABC биссектрисы AL и BK пересекаются в точке I.
2. Точка I лежит на биссектрисе AL, значит, она равноудалена от сторон AB и AC.
3. Точка I лежит на биссектрисе BK, значит, она равноудалена от сторон AB и BC.
4. Следовательно, точка I равноудалена от всех трех сторон треугольника: AB, AC и BC.
5. Существует единственная точка, равноудаленная от всех трех сторон треугольника, — это центр вписанной окружности.
6. Эта точка лежит на биссектрисе угла C. Поэтому биссектриса CL проходит через точку I.

Вывод: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности.