19 Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Решение:

Теорема: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1. Пусть в ΔABC проведены серединные перпендикуляры l_a к стороне BC и l_b к стороне AC.
2. Пусть l_a и l_b пересекаются в точке O.
3. По теореме о серединном перпендикуляре, точка O, лежащая на l_a, равноудалена от концов отрезка BC, то есть OB = OC.
4. Точка O, лежащая на l_b, равноудалена от концов отрезка AC, то есть OC = OA.
5. Из равенств OB = OC и OC = OA следует, что OB = OA.
6. Точка O равноудалена от концов отрезка AB. Следовательно, точка O лежит на серединном перпендикуляре l_c к стороне AB.

Вывод: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.