18 Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Решение:

Теорема: Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, и обратно, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство:

Часть 1: Докажем, что любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.

1. Пусть l — серединный перпендикуляр к отрезку AB, и точка M лежит на l. Пусть O — середина отрезка AB.
2. По определению, прямая l проходит через O и перпендикулярна AB.
3. Рассмотрим ΔMOA и ΔMOB.
4. MO — общая сторона.
5. AO = OB (так как O — середина AB).
6. ∠MOA = ∠MOB = 90° (так как l ⊥ AB).
7. Следовательно, ΔMOA = ΔMOB по двум сторонам и углу между ними.
8. Из равенства треугольников следует, что MA = MB. То есть точка M равноудалена от концов отрезка AB.

Часть 2: Докажем, что любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

1. Пусть точка M равноудалена от концов отрезка AB, то есть MA = MB.
2. Рассмотрим ΔMAO и ΔMBO, где O — середина AB.
3. MA = MB (по условию).
4. AO = OB (так как O — середина AB).
5. MO — общая сторона.
6. Следовательно, ΔMAO = ΔMBO по трем сторонам.
7. Из равенства треугольников следует, что ∠MOA = ∠MOB.
8. Так как ∠MOA + ∠MOB = 180°, то ∠MOA = ∠MOB = 90°.
9. Значит, MO ⊥ AB. Поскольку MO проходит через середину O отрезка AB и перпендикулярна ему, то MO является серединным перпендикуляром к AB. То есть точка M лежит на серединном перпендикуляре.

Вывод: Теорема доказана.