25 Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описанной около треугольника. Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

Решение:

Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к двум сторонам ΔABC, например, к сторонам AB и BC.
2. Пусть они пересекаются в точке O.
3. По теореме о серединном перпендикуляре, точка O, лежащая на серединном перпендикуляре к AB, равноудалена от концов отрезка AB (OA = OB).
4. Точка O, лежащая на серединном перпендикуляре к BC, равноудалена от концов отрезка BC (OB = OC).
5. Следовательно, точка O равноудалена от всех трех вершин треугольника: OA = OB = OC.
6. Если провести окружность с центром в точке O и радиусом OA (или OB, OC), то она пройдет через все три вершины треугольника.
7. Таким образом, около ΔABC можно описать окружность с центром O и радиусом R = OA.

Сколько окружностей можно описать около данного треугольника?

Около любого треугольника можно описать только одну окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам (и центром описанной окружности).