20 Сформулируйте и докажите теорему о пересечении высот треугольника.

Решение:

Теорема: Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

1. Пусть в ΔABC проведены высоты AH_a и BH_b. Пусть они пересекаются в точке H.
2. Рассмотрим ΔABC и ΔA'B'C', построенный так, что стороны ΔA'B'C' параллельны сторонам ΔABC, причем A'B' ∥ AB, B'C' ∥ BC, A'C' ∥ AC.
3. При таком построении ΔABC будет подобен ΔA'B'C'.
4. Свойства параллельности позволяют установить, что высоты ΔABC являются серединными перпендикулярами к сторонам ΔA'B'C'.
5. Например, высота BH_b ⊥ AC. Так как A'C' ∥ AC, то BH_b ⊥ A'C'.
6. Аналогично, высота AH_a ⊥ BC. Так как B'C' ∥ BC, то AH_a ⊥ B'C'.
7. Серединные перпендикуляры к сторонам ΔA'B'C' пересекаются в одной точке (центре описанной окружности ΔA'B'C').
8. Точка пересечения высот H ΔABC совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров ΔA'B'C'.

Вывод: Высоты треугольника пересекаются в одной точке.