15. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 60, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 12√21. Найдите sin ∠ABC.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, синус угла B определяется как отношение противолежащего катета (AC) к гипотенузе (AB).
   \( ext{sin} ∠ ABC = rac{AC}{AB} \)
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB. В нем угол B является острым.
   \( ext{sin} ∠ CBH = rac{CH}{CB} \)
3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Угол A является острым.
   \( ext{sin} ∠ CAH = rac{CH}{AC} \)
4. Шаг 4: В прямоугольном треугольнике ABC, \( ∠ CAH + ∠ CBH = 90^ ext{o} \). Также \( ∠ ACH + ∠ CBH = 90^ ext{o} \) (из прямоугольного треугольника CHB).
   Это значит, что \( ∠ CAH = ∠ BCH \).
5. Шаг 5: Используем найденное равенство углов из Шага 4: \( ∠ CAH = ∠ BCH \) и определение синуса угла A в треугольнике AHC:
   \( ext{sin} ∠ CAH = rac{CH}{AC} = rac{12√21}{60} = rac{√21}{5} \).
6. Шаг 6: Так как \( ∠ CAH = ∠ BCH \), то \( ext{sin} ∠ BCH = rac{√21}{5} \).
7. Шаг 7: В прямоугольном треугольнике ABC, \( ∠ ABC + ∠ BAC = 90^ ext{o} \).
   В прямоугольном треугольнике AHC, \( ∠ HAC + ∠ HCA = 90^ ext{o} \).
   Следовательно, \( ∠ ABC = ∠ HCA \).
8. Шаг 8: Таким образом, \( ext{sin} ∠ ABC = ext{sin} ∠ HCA \).
   Из Шага 6 мы знаем, что \( ext{sin} ∠ BCH = rac{√21}{5} \).
   И поскольку \( ∠ ABC = ∠ HCA \), то \( ext{sin} ∠ ABC = rac{√21}{5} \).

Ответ: \( rac{√21}{5} \)