15. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 24 см, а один из катетов 12 см. Найдите наибольший из острых углов данного треугольника.

Задание 15. Острые углы прямоугольного треугольника

Дано:

• Прямоугольный треугольник.
• Гипотенуза (c) = 24 см.
• Один из катетов (a) = 12 см.

Найти: Наибольший из острых углов.

Решение:

В прямоугольном треугольнике напротив большего острого угла лежит больший катет, а напротив меньшего острого угла — меньший катет. Мы хотим найти наибольший острый угол, значит, нам нужно найти угол, противолежащий большему катету. Однако, нам дан один катет, и мы не знаем, является ли он большим или меньшим. Но мы можем найти угол, противолежащий данному катету.

Пусть дан катет \( a = 12 \) см, а гипотенуза \( c = 24 \) см. Угол, противолежащий катету \( a \) (обозначим его \( \alpha \)), можно найти с помощью синуса:

\[ \sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c} \]

\[ \sin(\alpha) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \]

Угол, синус которого равен 1/2, равен 30°.

\[ \alpha = 30° \]

Мы нашли один острый угол. Второй острый угол (обозначим его \( \beta \)) можно найти, зная, что сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°:

\[ \beta = 90° - \alpha = 90° - 30° = 60° \]

Углы треугольника равны 30° и 60°. Наибольший из острых углов равен 60°.

Ответ: 60°.