15. В треугольнике ABC угол B равен 30°, угол C равен 60°, AB = 12√3. Найдите AC.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол A = 180° - 30° - 60° = 90°. Треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом при вершине A. Угол B равен 30°, а катет AC лежит напротив этого угла, тогда катет AC равен половине гипотенузы BC. Можно также рассуждать через синус и косинус углов. Сначала нужно найти длину гипотенузы BC, используя свойство, что катет AB, противолежащий углу С в 60 градусов, равен произведению синуса угла C на гипотенузу, то есть $$AB = BC \cdot sin(60)$$. Отсюда $$BC= AB/sin(60)$$. $$BC = \frac{12\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}= 12\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 24$$. Теперь мы можем найти AC, так как AC лежит напротив угла B в 30 градусов, то $$AC = BC \cdot sin(30)$$. $$AC = 24 * sin(30) = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$. Ответ: 12