15. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение:

Обозначим события:

• \( H \) — пациент болен гепатитом.
• \( \bar{H} \) — пациент не болен гепатитом.
• \( + \) — результат анализа положительный.
• \( - \) — результат анализа отрицательный.

Из условия задачи имеем:

• \( P(H) = 0.05 \) (5% пациентов действительно больны)
• \( P(\bar{H}) = 1 - P(H) = 1 - 0.05 = 0.95 \) (95% пациентов не больны)
• \( P(+|H) = 0.9 \) (вероятность положительного результата, если пациент болен)
• \( P(+|\bar{H}) = 0.01 \) (вероятность ложноположительного результата, если пациент не болен)

Нам нужно найти вероятность того, что результат анализа будет положительным, то есть \( P(+) \). Воспользуемся формулой полной вероятности:

\[ P(+) = P(+|H)P(H) + P(+|\bar{H})P(\bar{H}) \]

Подставим значения:

\[ P(+) = (0.9 \cdot 0.05) + (0.01 \cdot 0.95) \]

\[ P(+) = 0.045 + 0.0095 \]

\[ P(+) = 0.0545 \]

Ответ: 0.0545