18. Решите уравнение: 6sin²x + sin2x = 2.

Решение:

Данное уравнение:

\[ 6\sin^2x + \sin2x = 2 \]

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin2x = 2\sin x\cos x \).

И основное тригонометрическое тождество \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \), из которого следует \( \cos^2x = 1 - \sin^2x \).

Также, \( 1 = \sin^2x + \cos^2x \).

Подставим \( 2 \) как \( 2(\sin^2x + \cos^2x) \) и \( \sin2x \) в исходное уравнение:

\[ 6\sin^2x + 2\sin x\cos x = 2(\sin^2x + \cos^2x) \]

\[ 6\sin^2x + 2\sin x\cos x = 2\sin^2x + 2\cos^2x \]

Перенесем все члены в левую часть:

\[ 6\sin^2x - 2\sin^2x + 2\sin x\cos x - 2\cos^2x = 0 \]

\[ 4\sin^2x + 2\sin x\cos x - 2\cos^2x = 0 \]

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2x \) (предполагая \( \cos x ≠ 0 \). Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \), \( \sin2x = 0 \). Уравнение примет вид \( 6(± 1)^2 + 0 = 2 \), то есть \( 6 = 2 \), что неверно. Значит, \( \cos x ≠ 0 \).)

\[ 4\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 2\frac{\sin x\cos x}{\cos^2x} - 2\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0 \]

\[ 4\tan^2x + 2\tan x - 2 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ 2\tan^2x + \tan x - 1 = 0 \]

Сделаем замену: \( t = \tan x \).

\[ 2t^2 + t - 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]

\[ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

\[ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Теперь вернемся к замене \( t = \tan x \):

1) \( \tan x = \frac{1}{2} \) \(→ \) \( x = \arctan \left(\frac{1}{2}\right) + \pi k \), где \( k ∈ ℤ \).

2) \( \tan x = -1 \) \(→ \) \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n ∈ ℤ \).

Ответ: \( x = \arctan \left(\frac{1}{2}\right) + \pi k \), \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n ∈ ℤ \).