17. Катет ВС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости а. Угол между плоскостью а и плоскостью треугольника равен 30°. Найдите расстояние от точки А до плоскости а, если ВС=7 см, АВ=25 см.

Решение:

Обозначим \( H \) — проекция точки \( A \) на плоскость \( \alpha \). Тогда \( AH \) — искомое расстояние.

Так как \( ∥ C = 90^\circ \), \( AC \) — гипотенуза в треугольнике \( ABC \). Найдем \( AC \) по теореме Пифагора:

\[ AC^2 = AB^2 - BC^2 \]

\[ AC^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576 \]

\[ AC = \sqrt{576} = 24 \) см.

Угол между плоскостью \( \alpha \) и плоскостью треугольника \( ABC \) равен \( 30^\circ \). Так как \( BC \) лежит в плоскости \( \alpha \) и перпендикулярна \( AC \) (в плоскости \( ABC \)) и \( AH \) (перпендикуляр из \( A \) на \( \alpha \)), то \( ∠ BAC \) равен углу между плоскостями.

В прямоугольном треугольнике \( ACH \) (где \( H \) — проекция \( A \) на \( \alpha \)), \( AH \) — катет, противолежащий углу \( ∠ ACH \). Угол \( ∠ ACH \) равен углу между плоскостью \( ABC \) и плоскостью \( \alpha \), то есть \( 30^\circ \).

\[ AH = AC \cdot \sin(∠ ACH) \]

\[ AH = 24 \cdot \sin(30^\circ) \]

\[ AH = 24 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ AH = 12 \) см.

Ответ: 12 см