19. Найдите точку максимума для функции f(x) = 5x³ - 60x + 45

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции \( f(x) = 5x^3 - 60x + 45 \), нужно найти первую производную, приравнять ее к нулю и определить, в какой точке происходит смена знака производной с плюса на минус.

1. Найдем первую производную функции \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 - 60x + 45) = 15x^2 - 60 \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 15x^2 - 60 = 0 \]

\[ 15x^2 = 60 \]

\[ x^2 = \frac{60}{15} = 4 \]

\[ x = ± 2 \]

Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

3. Определим знак производной на интервалах, образованных критическими точками:
• Интервал \( (-∞, -2) \): возьмем \( x = -3 \). \( f'(-3) = 15(-3)^2 - 60 = 15(9) - 60 = 135 - 60 = 75 > 0 \). Функция возрастает.
• Интервал \( (-2, 2) \): возьмем \( x = 0 \). \( f'(0) = 15(0)^2 - 60 = -60 < 0 \). Функция убывает.
• Интервал \( (2, +∞) \): возьмем \( x = 3 \). \( f'(3) = 15(3)^2 - 60 = 15(9) - 60 = 135 - 60 = 75 > 0 \). Функция возрастает.
4. Смена знака производной с плюса на минус происходит в точке \( x = -2 \). Это означает, что в точке \( x = -2 \) находится локальный максимум.
5. Найдем значение функции в точке максимума:

\[ f(-2) = 5(-2)^3 - 60(-2) + 45 = 5(-8) + 120 + 45 = -40 + 120 + 45 = 80 + 45 = 125 \]

Ответ: точка максимума достигается при \( x = -2 \). Значение функции в этой точке равно 125.