1541. Прямая \(y=x+11\) является касательной к графику функции \(y=x^3+5x^2+9x+15\). Найдите абсциссу точки касания.

Для касания должны выполняться два условия: равенство угловых коэффициентов и принадлежность точки графику прямой.

Производная функции:

\(f'(x)=3x^2+10x+9\).

Угловой коэффициент прямой равен \(1\), поэтому:

\(3x^2+10x+9=1\),
\(3x^2+10x+8=0\).

Разложим на множители:

\((3x+4)(x+2)=0\).

Получаем кандидаты: \(x=-\frac{4}{3}\) и \(x=-2\).

Проверим принадлежность точек прямой:

При \(x=-2\): \(f(-2)=9\), а \(-2+11=9\), условие выполняется.

При \(x=-\frac{4}{3}\): значения функции и прямой не совпадают, поэтому это не точка касания данной прямой.

Ответ: \(x_0=-2\).