1542. Прямая \(y=2x\) является касательной к графику функции \(y=x^3+5x^2+9x+3\). Найдите абсциссу точки касания.

Для касания должны совпадать угловой коэффициент прямой и значение производной, а точка касания должна лежать на прямой.

Производная функции:

\(f'(x)=3x^2+10x+9\).

Угловой коэффициент прямой равен \(2\):

\(3x^2+10x+9=2\),
\(3x^2+10x+7=0\).

Разложим на множители:

\((3x+7)(x+1)=0\).

Кандидаты: \(x=-\frac{7}{3}\) и \(x=-1\).

Проверим условие принадлежности прямой. При \(x=-1\):

\(f(-1)=-2\), а \(2(-1)=-2\), поэтому точка лежит на прямой.

При \(x=-\frac{7}{3}\) значения функции и прямой не совпадают.

Ответ: \(x_0=-1\).