156. Решить уравнение: 1) √(2x − 34) = 1 + √x; 2) √(5x) + √(14 − x) = 8; 3) √(15 + x) + √(3 + x) = 6; 4) √(3 − 2x) − √(1 − x) = 1.

1. Область определения: \(x\ge17\). Возводим в квадрат: \(2x-34=x+1+2\sqrt{x}\), то есть \(x-35=2\sqrt{x}\). Положив \(t=\sqrt{x}\), получаем \((t-7)(t+5)=0\). Так как \(t\ge0\), имеем \(x=49\). Проверка: \(\sqrt{64}=1+\sqrt{49}=8\).
2. Область определения: \(0\le x\le14\). Изолируем корень после возведения в квадрат: \(5x+14-x+2\sqrt{5x(14-x)}=64\), поэтому \(\sqrt{5x(14-x)}=25-2x\), где также \(x\le\frac{25}{2}\). Ещё раз возводим в квадрат: \(9x^2-170x+625=0\), откуда \(x=5\) или \(x=\frac{125}{9}\). Второй корень не удовлетворяет условию \(x\le\frac{25}{2}\). Проверка для 5: \(5+3=8\).
3. Положим \(t=\sqrt{x+3}\), тогда \(t\ge0\) и \(\sqrt{x+15}=\sqrt{t^2+12}\). Из уравнения \(\sqrt{t^2+12}+t=6\) получаем \(\sqrt{t^2+12}=6-t\), где \(t\le6\). Возводим в квадрат: \(t^2+12=(6-t)^2\), откуда \(t=2\). Следовательно, \(x=1\).
4. Область определения: \(x\le1\). Переносим второй корень: \(\sqrt{3-2x}=1+\sqrt{1-x}\). Возводим в квадрат и упрощаем: \(1-x=2\sqrt{1-x}\). Положив \(t=\sqrt{1-x}\ge0\), получаем \(t^2=2t\), то есть \(t=0\) или \(t=2\). Отсюда \(x=1\) или \(x=-3\); оба значения проверку проходят.

Ответ: 1) 49; 2) 5; 3) 1; 4) −3, 1.