1571. а) 6^(log₆² x) + x^(log₆ x) = 12; б) 10^(lg² x) + 9x^(lg x) = 1000.

а) Область определения: \(x>0\). Положим \(t=\log_6 x\). Тогда \(6^{(\log_6 x)^2}=6^{t^2}\), а \(x^{\log_6 x}=(6^t)^t=6^{t^2}\). Значит, \(2\cdot6^{t^2}=12\), откуда \(6^{t^2}=6\), \(t^2=1\). Получаем \(x=6\) или \(x=\frac16\).

б) Область определения: \(x>0\). Пусть \(t=\lg x\). Тогда \(10^{(\lg x)^2}=10^{t^2}\) и \(x^{\lg x}=10^{t^2}\). Поэтому \(10^{t^2}+9\cdot10^{t^2}=1000\), то есть \(10^{t^2}=100\). Следовательно, \(t^2=2\), откуда \(x=10^{\sqrt2}\) или \(x=10^{-\sqrt2}\).

Ответ: а) \(x=6,\frac16\); б) \(x=10^{\sqrt2}\) или \(x=10^{-\sqrt2}\).