Решите систему уравнений: 1573. а) {2ˣ · 2ʸ = 16, log₃ x + log₃ y = 1}; б) {(1/3)^(2x) · (1/3)^(−y) = 1/27, log₂ 2x − log₂ y = 2}; в) {9ˣ · 3ʸ = 81, log₂ x + log₂ y = 1}; г) {(1/2)ˣ · (√2)ʸ = log₉ 3, log₄ y − log₄ x = 1}.

а) Из первого уравнения \(x+y=4\). Из второго \(\log_3(xy)=1\), значит, \(xy=3\). Тогда \(x,y\) — корни уравнения \(z^2-4z+3=0\): 1 и 3. Оба значения положительны.

Ответ а): \((x,y)=(1,3)\) или \((3,1)\).

б) Первое уравнение, записанное с основанием \(1/3\), даёт \(2x-y=3\). Во втором уравнении \(\log_2(2x/y)=2\), поэтому \(2x/y=4\) и \(y=x/2\). Подстановка: \(2x-x/2=3\), откуда \(x=2\), \(y=1\).

Ответ б): \((x,y)=(2,1)\).

в) Первое уравнение равносильно \(2x+y=4\). Второе даёт \(\log_2(xy)=1\), то есть \(xy=2\). Подставим \(y=4-2x\): \(x(4-2x)=2\), откуда \((x-1)^2=0\). Следовательно, \(x=1\), \(y=2\).

Ответ в): \((x,y)=(1,2)\).

г) Так как \(\log_9 3=\frac12\), первое уравнение после приведения степеней к основанию 2 даёт \(-x+y/2=-1\), или \(2x-y=2\). Из второго уравнения \(\log_4(y/x)=1\), значит, \(y=4x\). Тогда \(2x-4x=2\), откуда \(x=-1\), \(y=-4\). Это не допустимо: аргументы логарифмов во втором уравнении должны быть положительными. Значит, система решений не имеет.

Ответ г): решений нет.