Решите систему уравнений: 1572. а) {log₅(x + y) = 1, log₆ x + log₆ y = 1}; б) {log₀,₅(x + 2y) = log₀,₅(3x + y), log₇(x² − y) = log₇ x}; в) {log₉(x − y) = 1/2, log₆₄ x − log₆₄ y = 1/3}; г) {log₁/₃(3x − y) = log₁/₃(x + 4), log₉(x² + x − y) = log₉ x²}.

а) Из первого уравнения \(x+y=5\). Из второго \(\log_6(xy)=1\), значит, \(xy=6\). Поэтому \(x,y\) — корни уравнения \(z^2-5z+6=0\), то есть 2 и 3. Порядок переменных учитываем.

Ответ а): \((x,y)=(2,3)\) или \((3,2)\).

б) Равенство логарифмов с одинаковым основанием даёт \(x+2y=3x+y\), то есть \(y=2x\). Из второго уравнения \(x^2-y=x\). Подставляя \(y=2x\), получаем \(x^2-3x=0\). Учитывая область определения \(x>0\), имеем \(x=3\), \(y=6\).

Ответ б): \((x,y)=(3,6)\).

в) Первое уравнение даёт \(x-y=\sqrt9=3\). Второе преобразуем: \(\log_{64}(x/y)=1/3\), откуда \(x/y=4\), то есть \(x=4y\). Тогда \(4y-y=3\), поэтому \(y=1\), \(x=4\).

Ответ в): \((x,y)=(4,1)\).

г) Из первого уравнения следует \(3x-y=x+4\), или \(2x-y=4\). Из второго, с учётом допустимости аргументов, \(x^2+x-y=x^2\), значит, \(y=x\). Подстановка даёт \(x=4\), \(y=4\); аргументы логарифмов положительны.

Ответ г): \((x,y)=(4,4)\).