16. (1 балл) Найдите корень уравнения: √30-х = -х. Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.

Решение:

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ (\sqrt{30-x})^2 = (-x)^2 \]\[ 30 - x = x^2 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + x - 30 = 0 \]

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Теперь необходимо проверить найденные корни в исходном уравнении \( \sqrt{30-x} = -x \).

Проверка x = 5:

\[ \sqrt{30-5} = \sqrt{25} = 5 \]\[ -x = -5 \]

\( 5 \neq -5 \), следовательно, \( x = 5 \) не является корнем.

Проверка x = -6:

\[ \sqrt{30-(-6)} = \sqrt{30+6} = \sqrt{36} = 6 \]\[ -x = -(-6) = 6 \]

\( 6 = 6 \), следовательно, \( x = -6 \) является корнем.

Поскольку уравнение имеет только один корень, то он и является наибольшим.

Ответ: -6