22. (3 балла) Решите неравенство: lg(x²-8) < lg (2-9x)

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \lg(x^2 - 8) < \lg(2 - 9x) \) необходимо учесть область определения логарифмов.

1. Область определения:

• \( x^2 - 8 > 0 \implies x^2 > 8 \implies x < -\sqrt{8} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{8} \). Приближенно \( x < -2.83 \quad \text{или} \quad x > 2.83 \).
• \( 2 - 9x > 0 \implies 2 > 9x \implies x < \frac{2}{9} \).

Объединяя эти условия, получаем:

\[ x < -\sqrt{8} \quad \text{и} \quad x < \frac{2}{9} \]

Это означает, что \( x < -\sqrt{8} \).

2. Решение неравенства:

Так как логарифмическая функция \( \lg \) является возрастающей, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства:

\[ x^2 - 8 < 2 - 9x \]

Перенесем все члены в левую часть:

\[ x^2 + 9x - 8 - 2 < 0 \]\[ x^2 + 9x - 10 < 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 + 9x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 11}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]\[ x_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 11}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \]

Квадратный трехчлен \( x^2 + 9x - 10 \) имеет параболу ветвями вверх. Он отрицателен между корнями:

\[ -10 < x < 1 \]

3. Объединение решений:

Теперь нам нужно найти пересечение решения неравенства \( (-10 < x < 1) \) с областью определения \( (x < -\sqrt{8}) \).

Так как \( -\sqrt{8} \) приблизительно равно \( -2.83 \), то условие \( x < -\sqrt{8} \) является более строгим, чем \( x < 1 \).

Пересечение интервалов \( (-10; 1) \) и \( (-\infty; -\sqrt{8}) \) будет \( (-10; -\sqrt{8}) \).

Ответ: \( (-10; -\sqrt{8}) \)