21. (3 балла) Решите уравнение: cos 2x + sin² x = 0,75 Найдите все корни этого уравнения принадлежащие [-π; 5π/2]

Решение:

Для решения уравнения \( \cos 2x + \sin^2 x = 0.75 \) воспользуемся формулами тригонометрии.

Заменим \( \cos 2x \) через \( \sin^2 x \): \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

Подставим это в уравнение:

\[ (1 - 2\sin^2 x) + \sin^2 x = 0.75 \]

Упростим уравнение:

\[ 1 - \sin^2 x = 0.75 \]

Перенесем \( \sin^2 x \) в правую часть и \( 0.75 \) в левую:

\[ 1 - 0.75 = \sin^2 x \]\[ \sin^2 x = 0.25 \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ \sin x = \pm \sqrt{0.25} \]\[ \sin x = \pm 0.5 \]

Теперь у нас есть два случая:

Случай 1: \( \sin x = 0.5 \)

Общее решение для \( \sin x = 0.5 \) имеет вид:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Случай 2: \( \sin x = -0.5 \)

Общее решение для \( \sin x = -0.5 \) имеет вид:

\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Теперь нам нужно найти корни, принадлежащие отрезку \( [-\pi, \frac{5\pi}{2}] \). Период \( 2k\pi \) означает, что мы рассматриваем значения \( k = 0, 1, 2 \) и \( k = -1 \) для охвата всего отрезка.

Для \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \):

• \( k=0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \) (принадлежит отрезку)
• \( k=1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \) (принадлежит отрезку, так как \( \frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6} \))

Для \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \):

• \( k=0 \): \( x = \frac{5\pi}{6} \) (принадлежит отрезку)
• \( k=1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \) (не принадлежит отрезку, так как \( \frac{17\pi}{6} > \frac{15\pi}{6} \))

Для \( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \):

• \( k=0 \): \( x = -\frac{\pi}{6} \) (принадлежит отрезку)
• \( k=1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \) (принадлежит отрезку)

Для \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \):

• \( k=0 \): \( x = \frac{7\pi}{6} \) (принадлежит отрезку)
• \( k=1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} \) (не принадлежит отрезку)

Проверим ещё крайнюю левую границу \( -\pi \):

• \( k=-1 \) для \( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \) (не принадлежит отрезку)
• \( k=-1 \) для \( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \) (не принадлежит отрезку)
• \( k=-1 \) для \( x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \): \( x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \) (не принадлежит отрезку)
• \( k=-1 \) для \( x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \): \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} \) (принадлежит отрезку)

Итого, корни, принадлежащие отрезку \( [-\pi, \frac{5\pi}{2}] \):

\[ -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \]

Ответ: \( -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{13\pi}{6} \)